Felix Renggli se je rodil v švicarskem Baslu, flavto pa je študiral pri Gerhardu Hildenbrandu, Aurèlu Nicoletu in Petru-Lukasu Grafu. Po študiju na Akademiji za glasbo v Baslu je kot prva flavta igral v različnih orkestrih, kot so Orkester Festivala v Luzernu, Orkester Tonhalle v Zürichu, Simfonični orkester mesta St. Gallen, Orkester Gulbenkian v Lizboni, Evropski komorni orkester in Camerata Bern.
Renggli je bil večkrat nagrajen na državnih in mednarodnih tekmovanjih ter pogosto vodi mojstrske tečaje v Evropi, Južni Ameriki, na Japonskem, Kitajskem in v Avstraliji. Kot solist in komorni glasbenik pogosto koncertira po Evropi, Južni Ameriki, Združenih državah, na Japonskem, v Koreji in na Kitajskem. Kot gostujoči glasbenik je sodeloval na mednarodnih festivalih v Parizu, Madridu, Luzernu, Lockenhausu, Rio de Janeiru in Akiyoshidaiu na Japonskem. Redno sodelovanje z oboistom, dirigentom in skladateljem Heinzom Holligerjem je globoko vplivalo na njega kot koncertnega solista. Leta 1994 je Renggli nasledil Petra-Lukasa Grafa na mestu profesorja za flavto in komorno glasbo na Univerzi za glasbo v Baslu. Med letoma 2004 in 2014 je poučeval na Univerzi za glasbo v mestu Freiburg im Breisgau v Nemčiji.
Njegov repertoar sega od sodobne glasbe (številni premierni nastopi s Švicarskimi komornimi solisti in zasedbo Ensemble Contrechamps) do klasične komorne glasbe in solističnega repertoarja in vse do izvedb stare glasbe na izvirnih zgodovinskih inštrumentih. Renggli je posnel več CD-jev s posamezniki in zasedbami, kot so Švicarski komorni solisti, Heinz Holliger, Camerata Bern, Kvartet Arditti, Jan Schultsz, Mikayel Balyan, Chamber Academy Basel in Nova Stravaganza Köln. S soustanoviteljema, čelistom Danielom Haefligerjem in violistom Jürgom Dählerjem, si od leta 1999 deli vlogo umetniškega direktorja Švicarskih komornih koncertov, prvega vsešvicarskega cikla koncertov.
Od leta 2014 je tudi profesor na Konservatorij za glasbo italijanske Švice v Luganu.